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WKB近似_百度文库


作者:立博体育-立博体育app-ladbrokes官网      发布时间:2020-05-12 21:08:10


  WKB近似_数学_自然科学_专业资料。在量子力学里,WKB 近似是一种半经典计算方法,可以用来解析薛定谔方程。乔治· 伽莫 夫使用这方法,首先正确地解释了阿尔法衰变。WKB 近似先将量子系统的波函数,重新打 造为一个指数函数。然后,半经典

  在量子力学里,WKB 近似是一种半经典计算方法,可以用来解析薛定谔方程。乔治· 伽莫 夫使用这方法,首先正确地解释了阿尔法衰变。WKB 近似先将量子系统的波函数,重新打 造为一个指数函数。然后,半经典展开。再假设波幅或相位的变化很慢。通过一番运算, 就会得到波函数的近似解。 一般而言,WKB 近似专门计算一种特殊微分方程的近似解。这种特殊微分方程的最高阶导 数项目的系数是一个微小参数 。给予一个微分方程,形式为 。 假设解答的形式可以展开为一个渐近级数(asymptotic series): 。 将这据理思考过的猜想代入微分方程。然后约去相同指数函数因子。又取 这样,就可以从 开始,一个一个的解析这渐近级数的每一个项目 的极限。 。 通常 的渐近级数会发散(不收敛)。当 大于某值后,一般项目 会开 始增加。因此 WKB 近似法造成的最小误差,约是最后包括项目的数量级。 解析一个量子系统的薛定谔方程,WKB 近似涉及以下步骤: 1. 将波函数重新打造为一个指数函数; 2. 将这指数函数代入薛定谔方程; 3. 展开指数函数的参数为约化普朗克常数的幂级数; 4. 匹配 约化普朗克常数 同次幂 的项目,会得到一组方程; 5. 解析这些方程,就会得到波函数的近似。 一维不含时薛定谔方程为 ; 其中, 是约化普朗克常数, 是质量, 是坐标, 是位势, 是能量, 是波函数。 稍加编排,重写为 。(1) 假设波函数的形式为另外一个函数 。 代入方程 (1) , 的指数(函数 与作用量有很亲密的关系): ;(2) 其中, 表示 随着 的导数。 可以分为实值部分与虚值部分。设定两个函数 与 : 。 注意到波函数的波幅是 将 ,相位是 。 的代表式代入方程 (2) ,分别匹配实值部分、虚值部分,可以得到两个方程: ,(3) 。(4) 将 与 展开为 的幂级数: , 。 将两个幂级数代入方程 (3) 与 (4)。 的零次幂项目给出: , 。 假若波幅变化地足够慢于相位( ),那么,我们可以设定 , 。 只有当 更精确一点, 的时候,这方程才成立。经典运动只会允许这种状况发生。 的一次幂项目给出: , 。 所以, , 。 波函数的波幅是 。 定义动量 ,则波函数的近似为 ; 其中, 和 是常数, 是一个任意参考点的坐标。换到另一方面,假若相位变化 ),那么,我们可以设定 地足够慢于波幅( , 。 只有当 的时候,这方程才成立。经典运动不会允许这种状况发生。只有在 量子系统里,才会发生这种状况,称为量子隧穿效应。类似地计算,可以求得波函数的近 似为 ; 其中, 显而易见地,我们可以从分母观察出来,在经典转向点 ,这两个近似方程 (5) 和 (6) 会发散,无法表示出物理事实。我们必须正确地找到波函数在经典转向点的近似 解答。设定 呈振动形式。其它区域 是经典运动允许区域。在这区域内, 和 ,波函数 是经典运动不允许区域,波函数呈指数递减 形式。假设在经典转向点附近,位势足够的光滑,可以近似为线性函数。更详细地说,在 点 附近,将 展开为一个幂级数: ; 其中, 是常数值系数。 取至一阶,方程 (1) 变为 。 这微分方程称为艾里方程,解答是艾里函数: 。 匹配艾里函数和在 以得到在 的波函数,在 的波函数,经过一番繁杂的计算,可 附近的连接公式 : 。 类似地,也可以得到在 附近的连接公式: 。

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